17. Сторона ромба равна 10, а диагональ равна 16. Найдите площадь ромба.

Решение:

Площадь ромба можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2}d_1d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба.

Нам известна одна диагональ \( d_1 = 16 \) и сторона ромба \( a = 10 \).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны половинам диагоналей (\( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \)), а гипотенуза равна стороне ромба.

1. Найдем половину первой диагонали: \( \frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
2. Найдем вторую диагональ \( d_2 \), используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\( (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 \)

\( 8^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 10^2 \)

\( 64 + (\frac{d_2}{2})^2 = 100 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 64 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 = 36 \)

\( \frac{d_2}{2} = \sqrt{36} = 6 \) (половина диагонали не может быть отрицательной).

3. Найдем длину второй диагонали: \( d_2 = 6 \cdot 2 = 12 \).
4. Найдем площадь ромба:

\( S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96 \).

Ответ: 96.