17. Площадь прямоугольного треугольника равна 72√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник, \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 60^{\circ} \), тогда \( \angle B = 30^{\circ} \). Площадь \( S = 72\sqrt{3} \).

Обозначим катеты: \( BC = a \) (прилежащий к углу \( 60^{\circ} \)), \( AC = b \) (противолежащий к углу \( 60^{\circ} \)).

Из свойств прямоугольного треугольника с углами 30° и 60°:

\[ a = b \cdot \tan(30^{\circ}) = \frac{b}{\sqrt{3}} \]

или

\[ b = a \cdot \tan(60^{\circ}) = a\sqrt{3} \]

Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} ab \).

\[ 72\sqrt{3} = \frac{1}{2} a (a\sqrt{3}) \]

\[ 72\sqrt{3} = \frac{1}{2} a^2 \sqrt{3} \]

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\[ 72 = \frac{1}{2} a^2 \]

\[ a^2 = 144 \]

\[ a = 12 \]

Катет, прилежащий к углу 60°, это \( a \).

Ответ: 12