17. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение:

Обозначим события:

• К1 - выбран первый кубик.
• К2 - выбран второй кубик.
• В - в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков.
• A - бросали второй кубик.

По условию, выбор кубика случаен, поэтому P(К1) = P(К2) = 1/2.

Описание кубиков:

• Первый кубик (К1): Шесть граней с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Второй кубик (К2): Шесть граней с числами 1, 1, 3, 3, 5, 5.

Найдём вероятность события В (выпали 3 и 5 в каком-то порядке) для каждого кубика.

Для первого кубика (К1):

Возможные исходы при двух бросках: 6 * 6 = 36.

Исход "3 и 5" в каком-то порядке означает пары (3, 5) и (5, 3).

P(выпали 3 и 5 | К1) = P(3, 5) + P(5, 3) = (1/6 * 1/6) + (1/6 * 1/6) = 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18.

Для второго кубика (К2):

Вероятности выпадения чисел:

• P(1 | К2) = 2/6 = 1/3
• P(3 | К2) = 2/6 = 1/3
• P(5 | К2) = 2/6 = 1/3

Возможные исходы при двух бросках:

P(3, 5 | К2) = P(3 | К2) * P(5 | К2) = (1/3) * (1/3) = 1/9.

P(5, 3 | К2) = P(5 | К2) * P(3 | К2) = (1/3) * (1/3) = 1/9.

P(выпали 3 и 5 | К2) = P(3, 5 | К2) + P(5, 3 | К2) = 1/9 + 1/9 = 2/9.

Теперь применим формулу Байеса для нахождения P(К2 | В):

\[ P(K2 | B) = \frac{P(B | K2) * P(K2)}{P(B)} \]

Где P(B) - полная вероятность события В:

\[ P(B) = P(B | K1) * P(K1) + P(B | K2) * P(K2) \]

\[ P(B) = (1/18) * (1/2) + (2/9) * (1/2) \]

\[ P(B) = 1/36 + 1/9 = 1/36 + 4/36 = 5/36 \]

Теперь подставляем в формулу Байеса:

\[ P(K2 | B) = \frac{(2/9) * (1/2)}{5/36} = \frac{1/9}{5/36} = \frac{1}{9} * \frac{36}{5} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5} \]

Ответ: 4/5