15. Постройте график функции y = |x-2| - |x+1| + x² и найдите значения m, при которых прямая y = m имеет с ним ровно две общие точки.

Решение:

Для построения графика функции y = |x-2| - |x+1| + x², раскроем модули, рассмотрев три интервала:

1. x < -1:

В этом случае |x-2| = -(x-2) = 2-x, а |x+1| = -(x+1) = -x-1.

y = (2-x) - (-x-1) + x² = 2 - x + x + 1 + x² = x² + 3.

2. -1 ≤ x < 2:

В этом случае |x-2| = -(x-2) = 2-x, а |x+1| = x+1.

y = (2-x) - (x+1) + x² = 2 - x - x - 1 + x² = x² - 2x + 1 = (x-1)².

3. x ≥ 2:

В этом случае |x-2| = x-2, а |x+1| = x+1.

y = (x-2) - (x+1) + x² = x - 2 - x - 1 + x² = x² - 3.

График функции состоит из трех частей:

• Парабола y = x² + 3 для x < -1.
• Парабола y = (x-1)² для -1 ≤ x < 2.
• Парабола y = x² - 3 для x ≥ 2.

Найдём значения m, при которых прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком.

Проанализируем график:

• Для y = x² + 3 (x < -1): Вершина параболы находится в (0, 3). На интервале x < -1 функция возрастает от 4.
• Для y = (x-1)² (-1 ≤ x < 2): Вершина параболы находится в (1, 0). Значения на концах интервала: при x=-1, y=(-1-1)²=4; при x=2, y=(2-1)²=1.
• Для y = x² - 3 (x ≥ 2): Вершина параболы находится в (0, -3). На интервале x ≥ 2 функция возрастает от 1.

Точки, где прямая y=m пересекает график дважды:

• Когда m = 4 (пересекает y=x²+3 при x=-1 и y=(x-1)² при x=-1).
• Когда m = 0 (вершина параболы y=(x-1)²).
• При значениях m между 0 и 1, прямая y=m будет пересекать график в двух точках (одна точка на y=(x-1)², другая на y=x²-3).
• При значениях m между 1 и 4, прямая y=m будет пересекать график в двух точках (одна точка на y=(x-1)², другая на y=x²+3).

Рассмотрим крайние точки и вершины:

• y(-1) = (-1)² + 3 = 4. Также, y(-1) = (-1-1)² = 4.
• y(2) = (2-1)² = 1. Также, y(2) = 2² - 3 = 1.
• Вершина y=(x-1)² находится в (1, 0).

Прямая y=m будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда:

1. m = 0 (вершина параболы y=(x-1)²)
2. m = 4 (значение на стыке y=x²+3 и y=(x-1)² при x=-1)
3. m = 1 (значение на стыке y=(x-1)² и y=x²-3 при x=2)

Ответ: m = 0, m = 1, m = 4