17. ABCD — квадрат со стороной, равной √2. O — точка пересечения его диагоналей, OE — перпендикуляр к плоскости ABC, OE = √3. Найдите расстояние от точки E до вершин квадрата.

Решение:

Диагональ квадрата \( AC = AB √2 = √2 × √2 = 2 \) см.

Точка O — центр квадрата, поэтому \( AO = OC = BO = OD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} × 2 = 1 \) см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \( EOA \), \( EOB \), \( EOC \), \( EOD \). В каждом из них \( OE \) — общий катет, равный \( √3 \) см.

По теореме Пифагора:

\( EA^2 = OE^2 + AO^2 = (√3)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \) см.

\( EB^2 = OE^2 + BO^2 = (√3)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \) см.

\( EC^2 = OE^2 + CO^2 = (√3)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \) см.

\( ED^2 = OE^2 + DO^2 = (√3)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \) см.

Значит, \( EA = EB = EC = ED = √4 = 2 \) см.

Ответ: 2 см.