17.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объём тела вращения.

Решение:

При вращении равнобочной трапеции около большего основания образуется тело, которое можно представить как цилиндр, из которого вычли два конуса и добавили еще один цилиндр. Однако, проще представить это тело как цилиндр с двумя усеченными конусами по бокам. Более точное представление: тело состоит из центрального цилиндра и двух конусов, обращенных вершинами друг к другу.

1. Высота трапеции: \( h = 4 \) см.

2. Основания трапеции: \( a = 12 \) см, \( b = 18 \) см.

3. Радиус вращения: Радиус вращения равен высоте трапеции, так как она вращается около основания. \( r = h = 4 \) см.

4. Проекция боковой стороны на большее основание:

\( x = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

5. Формирование тела вращения:

Тело вращения состоит из:

• Центрального цилиндра с радиусом \( r = 4 \) см и высотой, равной меньшему основанию трапеции \( a = 12 \) см.
• Двух конусов, у которых радиус основания равен радиусу вращения \( r = 4 \) см, а высота каждого конуса равна \( x = 3 \) см.

6. Объем центрального цилиндра:

\( V_{цилиндр} = \pi r^2 a = \pi \cdot 4^2 \cdot 12 = \pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi \) см³.

7. Объем одного конуса:

\( V_{конус} = \frac{1}{3} \pi r^2 x = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \) см³.

8. Общий объем тела вращения:

\( V_{тело} = V_{цилиндр} + 2 \cdot V_{конус} = 192\pi + 2 \cdot 16\pi = 192\pi + 32\pi = 224\pi \) см³.

Ответ: \( 224\pi \) см³.