15.(3 балла) Найдите наименьшее значение функции y = 13x - 9 sinx + 9 на отрезке [0; \(\frac{\pi}{2}\)].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = 13x - 9 сизx + 9 \) на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \), найдём производную функции и критические точки.

1. Найдем производную функции \( y' \):
   \( y' = (13x - 9 сизx + 9)' = 13 - 9 сзx \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 13 - 9 сзx = 0 \)
   \( 9 сзx = 13 \)
   \( сзx = \frac{13}{9} \)
3. Так как \( \frac{13}{9} > 1 \), а \( сзx ≤ 1 \), уравнение \( сзx = \frac{13}{9} \) не имеет решений. Это означает, что на заданном отрезке нет критических точек, где производная равна нулю.
4. Проверим знак производной на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Возьмем любую точку из этого отрезка, например \( x = \frac{\pi}{6} \):
   \( y'(\frac{\pi}{6}) = 13 - 9 сз(\frac{\pi}{6}) = 13 - 9 · \frac{1}{2} = 13 - 4.5 = 8.5 \)
   Так как \( y' > 0 \) на всем отрезке, функция является возрастающей.
5. Следовательно, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, при \( x = 0 \).
6. Вычислим значение функции в точке \( x = 0 \):
   \( y(0) = 13 · 0 - 9 сиз(0) + 9 = 0 - 9 · 0 + 9 = 9 \)

Ответ: 9.