16.(3 балла) Решите систему уравнений $$ \begin{cases} 3x+y=3 \\ \log_3 (5x+4y) = \log_3 (y+5) \end{cases} $$

Решение:

Из второго уравнения системы следует, что аргументы логарифмов должны быть равны, и они должны быть положительными:

\( 5x + 4y = y + 5 \)

\( 5x + 3y = 5 \)

Теперь у нас есть новая система из двух линейных уравнений:

\( \begin{cases} 3x+y=3 \\ 5x+3y=5 \end{cases} \)

Выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y = 3 - 3x \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 5x + 3(3 - 3x) = 5 \)

\( 5x + 9 - 9x = 5 \)

\( -4x = 5 - 9 \)

\( -4x = -4 \)

\( x = 1 \)

Теперь найдем \( y \), подставив \( x=1 \) в выражение для \( y \):

\( y = 3 - 3(1) = 3 - 3 = 0 \)

Проверим условие положительности аргументов логарифмов:

\( 5x + 4y = 5(1) + 4(0) = 5 \) (больше 0)

\( y + 5 = 0 + 5 = 5 \) (больше 0)

Условия выполнены.

Ответ: \( x=1, y=0 \).