17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию у=3x²-х³ на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Решение:

Для исследования функции \( y = 3x^2 - x^3 \) на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума, найдём её производную.

1. Найдём производную функции:
• \( y' = (3x^2 - x^3)' \)
• \( y' = 6x - 3x^2 \)
2. Найдём критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует):
• Приравняем производную к нулю:
• \( 6x - 3x^2 = 0 \)
• Вынесем общий множитель \( 3x \):
• \( 3x(2 - x) = 0 \)
• Это уравнение имеет два корня:
• \( 3x = 0 \Rightarrow x = 0 \)
• \( 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2 \)
3. Определим знаки производной на интервалах:

Критические точки \( x=0 \) и \( x=2 \) делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 2) \) и \( (2; +\infty) \).

• Интервал \( (-\infty; 0) \): Возьмём тестовую точку, например, \( x = -1 \).
• \( y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 \). Производная отрицательна (\( y' < 0 \)), значит, функция убывает на этом интервале.
• Интервал \( (0; 2) \): Возьмём тестовую точку, например, \( x = 1 \).
• \( y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 \). Производная положительна (\( y' > 0 \)), значит, функция возрастает на этом интервале.
• Интервал \( (2; +\infty) \): Возьмём тестовую точку, например, \( x = 3 \).
• \( y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 \). Производная отрицательна (\( y' < 0 \)), значит, функция убывает на этом интервале.
4. Определим точки экстремума:
• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
• \( y(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 \). Точка минимума: (0; 0).
• В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
• \( y(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4 \). Точка максимума: (2; 4).

Ответ:

• Промежутки убывания: \( (-\infty; 0] \) и \( [2; +\infty) \).
• Промежутки возрастания: \( [0; 2] \).
• Точки экстремума: минимум в точке (0; 0), максимум в точке (2; 4).