17. (3 балла) Для функции f(x)=x³ найдите первообразную, график которой проходит через заданную точку М (3; 2).

Решение:

Дана функция \( f(x) = x^3 \).

Найдем первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) \). Первообразная находится интегрированием:

\( F(x) = ∫ x^3 dx \)

Используя правило интегрирования степенной функции \( ∫ x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), получаем:

\( F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \)

Теперь нам нужно найти значение константы \( C \), используя условие, что график первообразной проходит через точку \( M(3; 2) \). Это означает, что при \( x = 3 \) значение \( F(x) = 2 \).

Подставим значения \( x=3 \) и \( F(x)=2 \) в уравнение первообразной:

\( 2 = \frac{3^4}{4} + C \)

\( 2 = \frac{81}{4} + C \)

Вычислим \( C \):

\( C = 2 - \frac{81}{4} = \frac{8}{4} - \frac{81}{4} = \frac{8 - 81}{4} = -\frac{73}{4} \)

Таким образом, первообразная, график которой проходит через точку \( M(3; 2) \), имеет вид:

\( F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{73}{4} \)

Ответ: \( F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{73}{4} \)