16. (3 балла) Решите уравнение. \( 6\cos^2x - 5\sin x+5=0 \)

Решение:

Дано уравнение \( 6\cos^2x - 5\sin x+5=0 \).

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \) для замены \( \cos^2x \) через \( \sin^2x \):

\( 6(1 - \sin^2x) - 5\sin x + 5 = 0 \)

Раскроем скобки:

\( 6 - 6\sin^2x - 5\sin x + 5 = 0 \)

Приведем подобные члены:

\( -6\sin^2x - 5\sin x + 11 = 0 \)

Умножим все на \( -1 \) для удобства:

\( 6\sin^2x + 5\sin x - 11 = 0 \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 6y^2 + 5y - 11 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \u002B 6 \u002B (-11) = 25 + 264 = 289 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \)

Найдем значения \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2 \u002B 6} = \frac{12}{12} = 1 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2 \u002B 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6} \)

Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \).

1. \( \sin x = 1 \). Это частный случай. Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
2. \( \sin x = -\frac{11}{6} \). Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), а \( -\frac{11}{6} < -1 \), это уравнение не имеет решений.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)