17. (2 балла) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: x=-1, x=2, y=0, y=x^2-1.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( x = a \), \( x = b \), \( y = 0 \) и \( y = f(x) \), вычисляется с помощью определенного интеграла: \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \).

В данном случае \( a = -1 \), \( b = 2 \), \( f(x) = x^2 - 1 \).

1. Определим, где функция \( y = x^2 - 1 \) принимает отрицательные значения на промежутке \( [-1; 2] \).
   Найдём корни уравнения \( x^2 - 1 = 0 \): \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \).
   На промежутке \( [-1; 1) \) функция \( y = x^2 - 1 \) отрицательна (график параболы ниже оси \( x \)).
   На промежутке \( (1; 2] \) функция \( y = x^2 - 1 \) положительна.
2. Разделим интеграл на две части в соответствии со знаком функции:
   \[ S = \int_{-1}^{2} |x^2 - 1| dx = \int_{-1}^{1} -(x^2 - 1) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx \]
3. Вычислим первый интеграл:
   \[ \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \]
   \[ = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) \]
   \[ = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{-1}{3} \right) \]
   \[ = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) \]
   \[ = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]
4. Вычислим второй интеграл:
   \[ \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} \]
   \[ = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right) \]
   \[ = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) \]
   \[ = \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) \]
   \[ = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]
5. Сложим результаты двух интегралов:
   \[ S = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{8}{3} \).