16. (2 балла) Прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см вращается вокруг большей стороны. Определите объём и площадь полной поверхности полученного тела вращения.

Решение:

Когда прямоугольник вращается вокруг своей стороны, получается цилиндр.

1. Определение параметров цилиндра:
   Большая сторона прямоугольника равна 4 см. Эта сторона будет высотой цилиндра \( h \).
   Меньшая сторона прямоугольника равна 3 см. Эта сторона будет радиусом основания цилиндра \( r \).
   Итак, \( h = 4 \) см, \( r = 3 \) см.
2. Вычисление объёма цилиндра:
   Объём цилиндра вычисляется по формуле: \( V = \pi r^2 h \).
   \[ V = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot 4 \text{ см} \]
   \[ V = \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} \]
   \[ V = 36\pi \text{ см}^3 \]
3. Вычисление площади полной поверхности цилиндра:
   Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Формула: \( S = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh \).
   \[ S = 2 \pi (3 \text{ см})^2 + 2 \pi (3 \text{ см})(4 \text{ см}) \]
   \[ S = 2 \pi (9 \text{ см}^2) + 2 \pi (12 \text{ см}^2) \]
   \[ S = 18\pi \text{ см}^2 + 24\pi \text{ см}^2 \]
   \[ S = 42\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: Объём тела вращения равен \( 36\pi \) см³, площадь полной поверхности равна \( 42\pi \) см².