17. (1 балл) Решите уравнение √27 - 6x = x.

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{27 - 6x} = x \).

Для начала наложим ограничения:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 27 - 6x \geq 0 \) \(\Rightarrow\) \( 27 \geq 6x \) \(\Rightarrow\) \( x \leq \frac{27}{6} = 4.5 \).
2. Правая часть уравнения (значение корня) должна быть неотрицательной, так как корень извлекается из неотрицательного числа: \( x \geq 0 \).

Объединяя ограничения, получаем \( 0 \leq x \leq 4.5 \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{27 - 6x})^2 = x^2 \]

\[ 27 - 6x = x^2 \]

Перенесём все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 6x - 27 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: сумма корней равна -6, произведение — -27. Корни: 3 и -9.

Проверим корни с учётом ограничений \( 0 \leq x \leq 4.5 \):

• \( x = 3 \): Удовлетворяет условиям \( 0 \leq 3 \leq 4.5 \). Подставим в исходное уравнение: \( \sqrt{27 - 6 \cdot 3} = \sqrt{27 - 18} = \sqrt{9} = 3 \). \( 3 = 3 \). Верно.
• \( x = -9 \): Не удовлетворяет условию \( x \geq 0 \).

Следовательно, единственным решением является \( x = 3 \).

Ответ: \( x = 3 \).