15. (1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) = \(\frac{1}{6}\)t^3 + \(\frac{5}{2}\)t^2 + 28, где S — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Решение:

Скорость материальной точки — это первая производная от её положения по времени:

\( v(t) = S'(t) \).

Найдем производную от функции \( S(t) \):

\[ v(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{6}t^3 + \frac{5}{2}t^2 + 28 \right) \]

\[ v(t) = \frac{1}{6} \cdot 3t^2 + \frac{5}{2} \cdot 2t + 0 \]

\[ v(t) = \frac{1}{2}t^2 + 5t \]

По условию, скорость равна 6 м/с. Приравняем найденную производную к 6:

\[ \frac{1}{2}t^2 + 5t = 6 \]

Перенесём всё в одну часть уравнения:

\[ \frac{1}{2}t^2 + 5t - 6 = 0 \]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ t^2 + 10t - 12 = 0 \]

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 100 + 48 = 148 \]

Найдем корни уравнения:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{148}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{37}}{2} = -5 \pm \sqrt{37} \]

Так как время \( t \) не может быть отрицательным, берём положительный корень:

\[ t = -5 + \sqrt{37} \]

\( \sqrt{37} \) приблизительно равно 6.08.

\[ t \approx -5 + 6.08 = 1.08 \]

Ответ: Скорость точки была равна 6 м/с в момент времени \( t = -5 + \sqrt{37} \) секунд (приблизительно 1.08 секунд).