17. (1 балл) Решите неравенство log 3 (x + 1) ≤ log 3(5 – x).

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_3 (x+1) \le \log_3 (5-x) \) необходимо учесть два условия:

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргументы логарифмов должны быть положительными.
• \( x+1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
• \( 5-x > 0 \Rightarrow x < 5 \)
2. Решение неравенства: Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), функция \( \log_3 x \) возрастающая. Следовательно, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства.
• \( x+1 \le 5-x \)
• \( x+x \le 5-1 \)
• \( 2x \le 4 \)
• \( x \le 2 \)

Теперь объединим условия ОДЗ и полученное решение:

\[ x > -1 \text{ и } x < 5 \text{ и } x \le 2 \]

Наибольшее значение \( x \) — 2. Наименьшее значение \( x \) — больше -1. Таким образом, получаем интервал:

\[ -1 < x \le 2 \]

Ответ: \( (-1; 2] \).