16. Постройте график функции y = (5|x| - 1)/(|x| - 5x²). Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

Область определения определяется условием:

\(|x|-5x^2\ne0\).

При \(x\ne0\): \(|x|=5x^2\), поэтому \(|x|=\dfrac15\). Значит, исключаются \(x=0\), \(x=\dfrac15\), \(x=-\dfrac15\).

Рассмотрим два случая.

При \(x>0\):

\(y=\dfrac{5x-1}{x-5x^2}=\dfrac{5x-1}{x(1-5x)}=-\dfrac1x\), \(x\ne\dfrac15\).

При \(x<0\):

\(y=\dfrac{-5x-1}{-x-5x^2}=\dfrac{-5x-1}{-x(1+5x)}=\dfrac{5x+1}{x(1+5x)}=\dfrac1x\), \(x\ne-\dfrac15\).

Итак, график состоит из частей:

\(y=\dfrac1x\) при \(x<0\) и \(y=-\dfrac1x\) при \(x>0\), причём точка \(x=0\) не входит.

Пересечение с прямой \(y=kx\) на отрицательной полуоси:

\(kx=\dfrac1x\Rightarrow kx^2=1\).

Оно возможно при \(k>0\).

На положительной полуоси:

\(kx=-\dfrac1x\Rightarrow kx^2=-1\).

Оно возможно при \(k<0\).

При \(k=0\) уравнения решений не имеют. При любом ненулевом \(k\) имеется хотя бы одна точка пересечения.

Ответ: \(k=0\).