15. Постройте график функции y = (8x + 3)/(8x² + 3x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\), \(x\ne-\dfrac38\).

Разложим знаменатель:

\(8x^2+3x=x(8x+3)\).

Тогда

\(y=\dfrac{8x+3}{x(8x+3)}=\dfrac1x\), но точка \(x=-\dfrac38\) исключена.

График — гипербола \(y=\dfrac1x\) с выколотой точкой:

\(y=\dfrac1{-3/8}=-\dfrac83\), то есть \(\left(-\dfrac38;-\dfrac83\right)\).

Ищем пересечения с \(y=kx\):

\(kx=\dfrac1x\), поэтому \(kx^2=1\).

При \(k>0\) есть два значения \(x\), при \(k<0\) решений нет, при \(k=0\) решений нет.

Ровно одна точка получается, если одна из двух точек исчезает из-за выколотой точки. Это происходит при:

\(x=-\dfrac38\), тогда \(k=\dfrac1{x^2}=\dfrac{1}{9/64}=\dfrac{64}{9}\).

Ответ: \(k=\dfrac{64}{9}\).