16. Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а \( \text{tg} \angle BCA = 4/3 \). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O.

\( AO = OC = AC/2 = 12/2 = 6 \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \):

\[ \text{tg} \angle BCA = \frac{BO}{OC} \]

\[ \frac{4}{3} = \frac{BO}{6} \]

\[ BO = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8 \]

Диагональ BD равна \( 2 · BO = 2 \cdot 8 = 16 \).

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} AC · BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \).

Также площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту \( S = a \cdot h \). Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба \( r = h/2 \).

Сторону ромба \( BC \) найдём из \( \triangle BOC \) по теореме Пифагора:

\[ BC^2 = BO^2 + OC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \]

\[ BC = \sqrt{100} = 10 \]

Теперь найдём высоту ромба \( h \) (это высота \( \triangle ABC \) к стороне \( AC \) или высота \( \triangle BOC \) к гипотенузе \( BC \)):

\[ S = a \cdot h \Rightarrow h = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9,6 \]

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\[ r = \frac{h}{2} = \frac{9,6}{2} = 4,8 \]

Ответ: 4,8.