16 Биссектриса внешнего угла CBD треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 34°.

Решение:

Дано:

• Треугольник ABC.
• Биссектриса внешнего угла CBD параллельна AC.
• \( \angle ABC = 34^{\circ} \)

Найти:

• \( \angle CAB \)

1. Обозначим внешний угол:

• Пусть внешний угол при вершине B равен \( \angle CBD \).
• \( \angle ABC \) и \( \angle CBD \) — смежные углы, поэтому \( \angle ABC + \angle CBD = 180^{\circ} \).
• \( 34^{\circ} + \angle CBD = 180^{\circ} \)
• \( \angle CBD = 180^{\circ} - 34^{\circ} = 146^{\circ} \).

2. Биссектриса внешнего угла:

• Пусть BF — биссектриса \( \angle CBD \).
• Значит, \( \angle CBF = \angle FBD = \frac{1}{2} \angle CBD = \frac{1}{2} \cdot 146^{\circ} = 73^{\circ} \).

3. Параллельность:

• По условию, биссектриса BF || AC.

4. Углы при параллельных прямых:

• Рассмотрим прямую BC как секущую для параллельных прямых BF и AC.
• \( \angle FBC \) и \( \angle ACB \) — накрест лежащие углы.
• Следовательно, \( \angle ACB = \angle FBC = 73^{\circ} \).

5. Углы треугольника ABC:

• Мы знаем \( \angle ABC = 34^{\circ} \) и \( \angle ACB = 73^{\circ} \).
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• \( \angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \)
• \( \angle CAB + 34^{\circ} + 73^{\circ} = 180^{\circ} \)
• \( \angle CAB + 107^{\circ} = 180^{\circ} \)
• \( \angle CAB = 180^{\circ} - 107^{\circ} = 73^{\circ} \).

Ответ: 73