16. (3бал) В какой точке касательная к графику заданной функции f(x) = 3x³ - 3x² + 10x - 4 параллельна заданной прямой y=3+x.

Решение:

Для того чтобы касательная к графику функции \( f(x) \) была параллельна прямой \( y = 3+x \), их угловые коэффициенты должны быть равны.

Угловой коэффициент прямой \( y = 3+x \) равен 1.

Найдем производную функции \( f(x) \):

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 3x^2 + 10x - 4) \)

\( f'(x) = 9x^2 - 6x + 10 \)

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

\( 9x^2 - 6x + 10 = 1 \)

\( 9x^2 - 6x + 9 = 0 \)

Разделим на 3:

\( 3x^2 - 2x + 3 = 0 \)

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32 \)

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такой точки, в которой касательная к графику функции \( f(x) \) параллельна прямой \( y = 3+x \).

Ответ: Таких точек не существует.