14. (2бал) Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решение:

Установим соответствие между неравенствами и их решениями:

1. \( \frac{x-1}{(x-2)^2} > 0 \)

Знаменатель \( (x-2)^2 \) всегда больше нуля (кроме \( x=2 \)). Следовательно, неравенство сводится к \( x-1 > 0 \), что дает \( x > 1 \). Исключаем \( x=2 \), так как он обращает знаменатель в ноль.

Решение: \( (1; 2) \cup (2; +\infty) \). Это соответствует варианту 2).

2. \( 2^{-x} < 0.5 \)

Перепишем \( 0.5 \) как \( 2^{-1} \). Неравенство становится \( 2^{-x} < 2^{-1} \). Поскольку основание степени \( 2 > 1 \), показатель степени \( -x \) должен быть меньше \( -1 \).

\( -x < -1 \) \( x > 1 \).

Решение: \( (1; +\infty) \). Это соответствует варианту 1).

3. \( \log_2 x > 1 \)

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), то \( x > 2^1 \), то есть \( x > 2 \). Также необходимо условие \( x > 0 \).

Решение: \( (2; +\infty) \). Это соответствует варианту 3).

4. \( (x-1)(x-2) < 0 \)

Произведение двух множителей отрицательно, когда множители имеют разные знаки. Это происходит при \( 1 < x < 2 \).

Решение: \( (1; 2) \). Это соответствует варианту 2).

Итоговое соответствие:

• \( \frac{x-1}{(x-2)^2} > 0 \) — 2) (1;2)
• \( 2^{-x} < 0.5 \) — 1) \(1; +\infty\)
• \( \log_2 x > 1 \) — 3) \(2; +\infty\)
• \( (x-1)(x-2) < 0 \) — 2) (1;2)

Ответ: 1-2, 2-1, 3-3, 4-2.