12. (2бал) В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 15√21, cosA = 0,4. Найдите высоту СН.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AB = 15\sqrt{21} \), \( \cos A = 0.4 \).

Найти: \( CH \).

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
2. Найдем катет AC: \( AC = AB \cdot \cos A = 15\sqrt{21} \cdot 0.4 = 6\sqrt{21} \).
3. Площадь треугольника ABC равна: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \) и \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \).
4. Из \( \cos A = 0.4 \) найдем \( \sin A \): \( \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (0.4)^2} = \sqrt{1 - 0.16} = \sqrt{0.84} = \sqrt{\frac{84}{100}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \).
5. Найдем катет BC: \( BC = AB \cdot \sin A = 15\sqrt{21} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = 3 \cdot 21 = 63 \).
6. Теперь найдем площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{21} \cdot 63 = 3\sqrt{21} \cdot 63 = 189\sqrt{21} \).
7. Приравняем два выражения для площади: \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = S \) \( \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{21} \cdot CH = 189\sqrt{21} \) \( CH = \frac{189\sqrt{21} \cdot 2}{15\sqrt{21}} = \frac{189 \cdot 2}{15} = \frac{378}{15} = \frac{126}{5} = 25.2 \).

Ответ: 25.2.