15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у =3х- 1, y = 0, x = 1, x = 2.

Решение:

Фигура ограничена сверху прямой \( y = 3x - 1 \), снизу осью \( y=0 \), слева прямой \( x=1 \) и справа прямой \( x=2 \). Площадь такой фигуры можно найти как определенный интеграл от функции \( y = 3x - 1 \) по отрезку \( [1, 2] \).

1. Запишем интеграл для вычисления площади: \( S = \int_1^2 (3x - 1) dx \).
2. Найдем первообразную для функции \( 3x - 1 \): \( F(x) = \frac{3x^2}{2} - x \).
3. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( S = F(2) - F(1) \).
4. \( F(2) = \frac{3(2)^2}{2} - 2 = \frac{3 \cdot 4}{2} - 2 = \frac{12}{2} - 2 = 6 - 2 = 4 \).
5. \( F(1) = \frac{3(1)^2}{2} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = 1.5 - 1 = 0.5 \).
6. \( S = 4 - 0.5 = 3.5 \).

Ответ: 3.5.