14. Решите уравнение: 6cos^2x + 7sinx - 7 = 0.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \): \( 6(1 - \sin^2 x) + 7\sin x - 7 = 0 \).
2. Раскроем скобки: \( 6 - 6\sin^2 x + 7\sin x - 7 = 0 \).
3. Приведем подобные слагаемые: \( -6\sin^2 x + 7\sin x - 1 = 0 \).
4. Умножим на -1 для удобства: \( 6\sin^2 x - 7\sin x + 1 = 0 \).
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение: \( 6t^2 - 7t + 1 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).
7. \( t_1 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 \).
8. \( t_2 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
9. Вернемся к замене \( t = \sin x \):
• \( \sin x = 1 \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
• \( \sin x = \frac{1}{6} \) ⇒ \( x = \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi n \) или \( x = \pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi n, x = \pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \).