15. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике BHC:

1. Найдем угол ∠CBH: \( \angle CBH = 90° - \angle C = 90° - 40° = 50° \).
2. Найдем длину BH: \( BH = HC \cdot \tan(40°) = 54 \cdot \tan(40°) \approx 54 \cdot 0.839 = 45.3 \).
3. Найдем длину CH: \( CH = BC \cdot \cos(50°) \).
4. Найдем длину BC: \( BC = \frac{HC}{\cos(50°)} = \frac{54}{\cos(50°)} \approx \frac{54}{0.6428} \approx 83.99 \).
5. Медиана BM делит сторону AC пополам. Поэтому AM = MC = AC/2 = 216/2 = 108.
6. Найдем длину MH: \( MH = MC - HC = 108 - 54 = 54 \).
7. В прямоугольном треугольнике BHM: \( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} = \frac{45.3}{54} \approx 0.8389 \).
8. Угол \( \angle AMB = \arctan(0.8389) \approx 40° \).

Ответ: 40.