15. В треугольнике АВС известно, что АС = 16, ВС = 12, ∠C = 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Задание 15. Радиус описанной окружности

Дано:

• Треугольник ABC.
• \( AC = 16 \)
• \( BC = 12 \)
• \( \angle C = 90^\circ \)

Найти: радиус описанной окружности \( R \).

Решение:

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.

1. Сначала найдем длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора:
• \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
• \( AB^2 = 16^2 + 12^2 \)
• \( AB^2 = 256 + 144 \)
• \( AB^2 = 400 \)
• \( AB = \sqrt{400} = 20 \)
2. Теперь найдем радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:
• \( R = \frac{AB}{2} \)
• \( R = \frac{20}{2} = 10 \)

Ответ: 10