15. В треугольнике ABC ∠A = 30°, a ∠B=45°, BC = 8√2. Найдите AC.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон.

У нас есть:

• \[ \angle A = 30^° \]
• \[ \angle B = 45^° \]
• \[ BC = 8\sqrt{2} \]

Найдем \[ \angle C \]:

\[ \angle C = 180^° - \angle A - \angle B = 180^° - 30^° - 45^° = 180^° - 75^° = 105^° \]

Теперь применим теорему синусов:

\[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin(45^°)} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin(30^°)} \]

Мы знаем, что \[ \sin(45^°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] и \[ \sin(30^°) = \frac{1}{2} \].

Подставляем эти значения:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \]

Умножим обе части уравнения на \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]:

\[ AC = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ AC = 8\sqrt{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ AC = 8 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} \]

\[ AC = 8 \times 2 \]

\[ AC = 16 \]

Ответ: 16