15. Тип 15 № 339381. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Краткая запись:

• Параллелограмм ABCD
• AC = 2 * AB
• ∠ACD = 104°
• Найти: Меньший угол между диагоналями — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим стороны параллелограмма. Пусть AB = x, тогда AC = 2x. Также, по свойству параллелограмма, CD = AB = x и BC = AD.
2. Шаг 2: Рассмотрим ∠ACD. По теореме синусов: \( \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} \). Подставляем известные значения: \( \frac{AD}{\sin(104°)} = \frac{x}{\sin(\angle CAD)} \).
3. Шаг 3: Рассмотрим ∠ABC. Угол ∠ABC = 180° - ∠BCD. Угол ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.
4. Шаг 4: По теореме косинусов для ∠ACD: \( AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 AC CD \cos(\angle ACD) \).
5. Шаг 5: По теореме косинусов для ∠ABC: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC \cos(\angle ABC) \).
6. Шаг 6: Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда AO = OC = AC/2 = x, BO = OD.
7. Шаг 7: Рассмотрим ∠OCD. Угол ∠OCD = 180° - ∠ACD = 180° - 104° = 76° (если AC и CD являются сторонами треугольника, но здесь AC - диагональ).
8. Шаг 8: Угол ∠ADC = 180° - ∠BCD.
9. Шаг 9: Рассмотрим ∠AOB. Угол ∠AOB = 180° - ∠BOC.
10. Шаг 10: Применим теорему о диагоналях параллелограмма: \( AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2) \).
11. Шаг 11: Используя данные и свойства, решаем систему уравнений для нахождения углов.

Ответ: 36