15. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть прямоугольник ABCD. Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Следовательно, диагональ \( AC = 13 \).

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( AB \) и диагональю \( AC \). По условию \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \sin \alpha = \frac{BC}{AC} \)

\( \frac{12}{13} = \frac{BC}{13} \)

Отсюда \( BC = 12 \).

Теперь найдем сторону AB, используя теорему Пифагора \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \):

\( AB^2 + 12^2 = 13^2 \)

\( AB^2 + 144 = 169 \)

\( AB^2 = 169 - 144 \)

\( AB^2 = 25 \)

\( AB = 5 \).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\( S = AB \cdot BC = 5 \cdot 12 = 60 \).

Ответ: 60