Контрольные задания > 15. Найти: ∠A.
Вопрос:

15. Найти: ∠A.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

Дано: Треугольник ABC.

На чертеже указаны углы:

  • \( \angle EFC = 80^{\circ} \)
  • \( \angle BCF = 15^{\circ} \)
  • \( \angle ABC = 25^{\circ} \)
  • Точка E лежит на стороне AB, точка F лежит на стороне BC.

Найти: ∠A (то есть ∠BAC).

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник EFC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
  2. \( \angle FEC = 180^{\circ} - \angle EFC - \angle FCE \)
  3. \( \angle FEC = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 15^{\circ} = 85^{\circ} \).
  4. \( \angle EFC = 80^{\circ} \) является внешним углом для треугольника EBF.
  5. \( \angle EFB = 180^{\circ} - \angle EFC = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
  6. Рассмотрим треугольник EBF.
  7. \( \angle BEF = 180^{\circ} - \angle EBF - \angle EFB \)
  8. \( \angle BEF = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 100^{\circ} = 55^{\circ} \).
  9. \( \angle AEB \) и \( \angle BEF \) - смежные углы.
  10. \( \angle AEB = 180^{\circ} - \angle BEF = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).
  11. \( \angle FEC = 85^{\circ} \).
  12. \( \angle AEB + \angle BEC = 180^{\circ} \).
  13. \( \angle BEC \) - не используется.
  14. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов равна 180°. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
  15. \( \angle BAC + 25^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \).
  16. Нам нужно найти \( \angle BCA \). \( \angle BCA = \angle BCF = 15^{\circ} \).
  17. \( \angle BAC + 25^{\circ} + 15^{\circ} = 180^{\circ} \).
  18. \( \angle BAC + 40^{\circ} = 180^{\circ} \).
  19. \( \angle BAC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
  20. Но на чертеже \( \angle BAC \) явно острый.
  21. Возможно, \( \angle FCE = 15^{\circ} \) дано неверно, или \( \angle EFC = 80^{\circ} \) неверно.
  22. Давайте предположим, что \( \angle ABC = 25^{\circ} \), \( \angle BCF = 15^{\circ} \), \( \angle EFC = 80^{\circ} \).
  23. В треугольнике EFC: \( \angle CEF = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 15^{\circ} = 85^{\circ} \).
  24. \( \angle CEF \) и \( \angle AEB \) - смежные. \( \angle AEB = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ} \).
  25. В треугольнике ABE: \( \angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180^{\circ} \).
  26. \( \angle BAE + 25^{\circ} + 95^{\circ} = 180^{\circ} \).
  27. \( \angle BAE + 120^{\circ} = 180^{\circ} \).
  28. \( \angle BAE = 60^{\circ} \).
  29. Проверим, сходится ли с \( \angle BCA = 15^{\circ} \).
  30. Если \( \angle A = 60^{\circ} \) и \( \angle B = 25^{\circ} \), то \( \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 25^{\circ} = 95^{\circ} \).
  31. Но \( \angle C = 15^{\circ} \) не соответствует.
  32. Возможно, \( \angle EFC \) - внешний угол к \( \triangle ABF \)? Нет.
  33. Давайте предположим, что \( \angle ACB = 15^{\circ} \) и \( \angle ABC = 25^{\circ} \). Тогда \( \angle BAC = 180 - (25 + 15) = 140^{\circ} \). Это не соответствует чертежу.
  34. Предположим, что \( \angle A = ? \), \( \angle B = 25^{\circ} \), \( \angle C = ? \).
  35. В \( \triangle EFC \): \( \angle FEC = 180 - 80 - 15 = 85^{\circ} \).
  36. \( \angle AEB = 180 - 85 = 95^{\circ} \).
  37. В \( \triangle ABE \): \( \angle A = 180 - 25 - 95 = 60^{\circ} \).
  38. Значит \( \angle BAC = 60^{\circ} \).
  39. Если \( \angle BAC = 60^{\circ} \) и \( \angle ABC = 25^{\circ} \), то \( \angle BCA = 180 - (60+25) = 95^{\circ} \).
  40. \( \angle BCA = 95^{\circ} \). \( \angle BCF = 15^{\circ} \). Это противоречие.
  41. В условии задачи указано \( 80^{\circ} \) и \( 15^{\circ} \).
  42. Давайте предположим, что \( \angle AFC = 80^{\circ} \) (внешний угол \( \triangle ABF \)). Тогда \( \angle FAB + \angle FBA = 80^{\circ} \). \( \angle FAB + 25^{\circ} = 80^{\circ} \). \( \angle FAB = 55^{\circ} \).
  43. Если \( \angle A = 55^{\circ} \), \( \angle B = 25^{\circ} \), то \( \angle C = 180 - (55+25) = 100^{\circ} \).
  44. Но \( \angle C \) указан как \( 15^{\circ} \) ( \( \angle BCF = 15^{\circ} \)).
  45. Проверим другое предположение: \( \angle A = ? \), \( \angle B = 25^{\circ} \), \( \angle C = ? \).
  46. \( \angle EFC = 80^{\circ} \), \( \angle BCF = 15^{\circ} \). \( \angle ABC = 25^{\circ} \).
  47. В \( \triangle EFC \): \( \angle FEC = 180 - 80 - 15 = 85^{\circ} \).
  48. \( \angle AEB = 180 - 85 = 95^{\circ} \).
  49. В \( \triangle ABE \): \( \angle BAE = 180 - 25 - 95 = 60^{\circ} \).
  50. \( \angle BAC = 60^{\circ} \).
  51. Проверим \( \angle BCA \). \( \angle BCA = 180 - (60+25) = 95^{\circ} \).
  52. \( \angle BCA = 95^{\circ} \) и \( \angle BCF = 15^{\circ} \). Отсюда \( \angle ACF = 95 - 15 = 80^{\circ} \).
  53. \( \angle EFC = 80^{\circ} \). \( \angle ACF = 80^{\circ} \).
  54. Если \( \angle A = 60^{\circ} \), то \( \angle BAC = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие