15. (3 балла) Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y = 4-x² и y = x+2

Задание 15. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Сначала найдем точки пересечения двух кривых \( y = 4 - x^2 \) (парабола) и \( y = x + 2 \) (прямая).

Приравняем правые части уравнений:

\[ 4 - x^2 = x + 2 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ 0 = x^2 + x + 2 - 4 \]

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

\[ x = \frac{-1 ± √{9}}{2(1)} = \frac{-1 ± 3}{2} \]

Найдем точки пересечения по оси X:

\[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для этих точек, подставив \( x \) в уравнение прямой \( y = x + 2 \):

При \( x = 1 \), \( y = 1 + 2 = 3 \).

При \( x = -2 \), \( y = -2 + 2 = 0 \).

Точки пересечения: (1, 3) и (-2, 0).

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, можно найти с помощью определенного интеграла. Нам нужно вычислить интеграл от разности верхней и нижней функций на интервале от \( x_2 \) до \( x_1 \).

На интервале \( [-2, 1] \) парабола \( y = 4 - x^2 \) находится выше прямой \( y = x + 2 \). Проверим, например, при \( x = 0 \): \( y_{параболы} = 4 - 0^2 = 4 \), \( y_{прямой} = 0 + 2 = 2 \). Действительно, \( 4 > 2 \).

Площадь \( S \) вычисляется так:

\[ S = ∫_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) dx \]

\[ S = ∫_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) dx \]

\[ S = ∫_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \]

Теперь найдем первообразную:

\[ S = \bigg[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \bigg]_{-2}^{1} \]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ S = \bigg(-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1)\bigg) - \bigg(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)\bigg) \]

\[ S = \bigg(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\bigg) - \bigg(-\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4\bigg) \]

\[ S = \bigg(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\bigg) - \bigg(\frac{8}{3} - 2 - 4\bigg) \]

\[ S = \bigg(-\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6}\bigg) - \bigg(\frac{8}{3} - 6\bigg) \]

\[ S = \frac{7}{6} - \bigg(\frac{8}{3} - \frac{18}{3}\bigg) \]

\[ S = \frac{7}{6} - \bigg(-\frac{10}{3}\bigg) \]

\[ S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} \]

Сократим дробь:

\[ S = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Ответ: \( 4.5 \).