13.(2 балла) Решите уравнение 2sin²x + 5sinx - 3 = 0

Задание 13. Решение тригонометрического уравнения

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \).

Обозначим \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 + 5t - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \]

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4} \]

Находим два значения для \( t \):

\[ t_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]

Теперь вернемся к нашей замене \( t = \sin x \).

Случай 1: \( \sin x = \frac{1}{2} \).

Это частный случай, мы знаем, что решениями являются:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]

где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \( \sin x = -3 \).

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса всегда находится в пределах от -1 до 1 ( \( -1 \le \u0002\sin x \le 1 \) ).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).