15. (3 балла) Решите уравнение: √x² + 2х + 10 = 2x-1

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x-1 \) возведём обе части в квадрат.

Предварительно наложим условие: \( 2x-1 \ge 0 \), откуда \( 2x \ge 1 \) и \( x \ge 0.5 \).

Возводим обе части в квадрат:

\( (\sqrt{x^2 + 2x + 10})^2 = (2x-1)^2 \)

\( x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 0 = 4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 10 \)

\( 0 = 3x^2 - 6x - 9 \)

Разделим всё уравнение на 3:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь проверим корни на соответствие условию \( x \ge 0.5 \).

\( x_1 = 3 \) удовлетворяет условию \( 3 \ge 0.5 \).

\( x_2 = -1 \) не удовлетворяет условию \( -1 \ge 0.5 \).

Следовательно, посторонний корень \( x_2 = -1 \).

Ответ: x = 3.