15.(3 балла) Найдите наименьшее значение функции y = 2cosx + 5x + 8 на отрезке [0; 3π/2].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = 2\cos{x} + 5x + 8 \) на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \), найдём производную функции и точки, в которых она равна нулю, а также вычислим значения функции на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: \( y' = (2\cos{x} + 5x + 8)' = -2\sin{x} + 5 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( -2\sin{x} + 5 = 0 \) \( \sin{x} = \frac{5}{2} \). Так как \( \sin{x} \) может принимать значения только в диапазоне \( [-1; 1] \), уравнение \( \sin{x} = \frac{5}{2} \) не имеет решений. Следовательно, критических точек внутри интервала нет.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка:
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 2\cos{0} + 5 \cdot 0 + 8 = 2 \cdot 1 + 0 + 8 = 10 \).
• При \( x = \frac{3\pi}{2} \): \( y(\frac{3\pi}{2}) = 2\cos{\frac{3\pi}{2}} + 5 \cdot \frac{3\pi}{2} + 8 = 2 \cdot 0 + \frac{15\pi}{2} + 8 = \frac{15\pi}{2} + 8 \).
4. Сравним полученные значения. \( \frac{15\pi}{2} + 8 \approx \frac{15 \cdot 3.14}{2} + 8 \approx 23.55 + 8 = 31.55 \).
5. Значение \( 10 \) меньше, чем \( \frac{15\pi}{2} + 8 \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно 10.