17.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй – около большего. Сравните объёмы тел вращения.

Решение:

При вращении трапеции около основания получается тело, состоящее из цилиндра и двух конусов (или двух цилиндров и двух усечённых конусов, в зависимости от того, как вращать). В данном случае, когда трапеция вращается около одного из оснований, тело вращения можно представить как цилиндр, к боковым граням которого примыкают два конуса.

Первый случай: вращение около меньшего основания (12 см).

В этом случае меньшее основание будет осью вращения. Высота трапеции \( h = 8 \) см. Полутрапеция состоит из:

• Цилиндра с радиусом \( r = 8 \) см и высотой \( H_1 = \frac{24 - 12}{2} = 6 \) см (боковая сторона трапеции, спроецированная на основание).
• Двух одинаковых конусов с радиусом \( r = 8 \) см и высотой \( H_2 = \frac{24 - 12}{2} = 6 \) см.

Однако, если вращать около меньшего основания, то тело будет состоять из цилиндра высотой \( b_1 = 12 \) см и радиусом \( r = 8 \) см, к которому с двух сторон примыкают два конуса с радиусом \( r = 8 \) см и образующей, равной боковой стороне трапеции. Высота конусов будет равна половинам разности оснований, то есть \( \frac{24-12}{2} = 6 \) см.

Объём цилиндра: \( V_{cyl1} = \pi r^2 H_1 = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 768\pi \) см³.

Объём двух конусов: \( V_{cones1} = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 H_2 = \frac{2}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = \frac{2}{3} \pi \cdot 64 \cdot 6 = 256\pi \) см³.

Общий объём \( V_1 = V_{cyl1} + V_{cones1} = 768\pi + 256\pi = 1024\pi \) см³.

Второй случай: вращение около большего основания (24 см).

В этом случае большее основание будет осью вращения. Высота трапеции \( h = 8 \) см.

Тело вращения будет состоять из:

• Большого цилиндра с радиусом \( r = 8 \) см и высотой \( H_1 = 12 \) см.
• Двух одинаковых конусов с радиусом \( r = 8 \) см и высотой \( H_2 = \frac{24 - 12}{2} = 6 \) см.

Объём цилиндра: \( V_{cyl2} = \pi r^2 H_1 = \pi \cdot 8^2 \cdot 24 = 1536\pi \) см³.

Объём двух конусов: \( V_{cones2} = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 H_2 = \frac{2}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = 256\pi \) см³.

Общий объём \( V_2 = V_{cyl2} + V_{cones2} = 1536\pi + 256\pi = 1792\pi \) см³.

Сравнение объёмов:

\( V_1 = 1024\pi \) см³.

\( V_2 = 1792\pi \) см³.

\( V_2 > V_1 \).

Ответ: Объём тела, полученного при вращении около большего основания (1792π см³), больше объёма тела, полученного при вращении около меньшего основания (1024π см³).