17.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй – около большего. Сравните объёмы тел вращения.

Решение:

При вращении трапеции около основания получаются тела, состоящие из цилиндра и двух конусов.

Случай 1: Вращение около меньшего основания (12 см).

В этом случае меньшее основание будет осью вращения. Высота трапеции (8 см) станет радиусом вращения. Большее основание (24 см) будет состоять из меньшего основания (12 см) и двух отрезков, которые при вращении образуют основания конусов. Длина каждого из этих отрезков равна \( \frac{24 - 12}{2} = 6 \) см.

Тело вращения будет состоять из цилиндра с радиусом \( r = 8 \) см и высотой \( h_ц = 12 \) см, и двух одинаковых конусов с радиусом \( r = 8 \) см и образующей \( l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см. Высота каждого конуса равна 6 см.

Объем цилиндра: \( V_ц = \pi r^2 h_ц = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = \pi \cdot 64 \cdot 12 = 768\pi \) см³.

Объем одного конуса: \( V_к = \frac{1}{3} \pi r^2 h_к = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 6 = 128\pi \) см³.

Общий объем первого тела вращения: \( V_1 = V_ц + 2 V_к = 768\pi + 2 \cdot 128\pi = 768\pi + 256\pi = 1024\pi \) см³.

Случай 2: Вращение около большего основания (24 см).

В этом случае большее основание будет осью вращения. Высота трапеции (8 см) также станет радиусом вращения. Меньшее основание (12 см) будет состоять из двух отрезков, которые при вращении образуют основания конусов. Длина каждого из этих отрезков равна \( \frac{12}{2} = 6 \) см.

Тело вращения будет состоять из цилиндра с радиусом \( r = 8 \) см и высотой \( h_ц = 12 \) см, и двух одинаковых конусов с радиусом \( r = 8 \) см и образующей \( l = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \) см. Высота каждого конуса равна 6 см.

Однако, при вращении вокруг большего основания, тело состоит из цилиндра и двух усеченных конусов, которые вместе составляют еще один цилиндр. В данном случае, проще рассматривать тело как два конуса с общей высотой, равной большему основанию, и радиусом, равным высоте трапеции, но это не совсем верно. Более правильным будет представить тело как цилиндр (высота которого равна меньшему основанию) и два конуса, присоединенные к его боковым поверхностям. Однако, в данном случае, удобнее рассматривать вращение трапеции как сумму объемов вращающихся треугольников и прямоугольника.

Более корректный подход:

Тело вращения состоит из центрального цилиндра высотой \( 12 \) см и радиусом \( 8 \) см, и двух конусов, у которых радиус основания \( 8 \) см, а высота каждого конуса равна \( \frac{24-12}{2} = 6 \) см. Этот случай аналогичен первому, но ось вращения другая.

Давайте переформулируем:

При вращении трапеции около основания, тело вращения будет состоять из цилиндра и двух конусов.

Случай 1: Вращение около меньшего основания (12 см).

Высота трапеции = 8 см (это радиус вращения). Меньшее основание = 12 см (высота цилиндра). Отрезки от концов меньшего основания до концов большего основания = \( (24-12)/2 = 6 \) см (высота конусов).

Объем: \( V_1 = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 + 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = 768\pi + 256\pi = 1024\pi \) см³.

Случай 2: Вращение около большего основания (24 см).

Высота трапеции = 8 см (это радиус вращения). Большее основание = 24 см. Отрезки от концов большего основания до концов меньшего основания = \( (24-12)/2 = 6 \) см.

В этом случае, ось вращения — это большее основание. Тело вращения можно представить как:

1. Цилиндр, высота которого равна меньшему основанию (12 см), а радиус равен высоте трапеции (8 см). Его объем \( V_{ц1} = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 768\pi \) см³.

2. Два конуса, у которых радиус основания равен высоте трапеции (8 см), а высота каждого конуса равна \( \frac{24-12}{2} = 6 \) см. Их общий объем \( V_{2к} = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = 256\pi \) см³.

Однако, это не совсем правильно. Лучше разбить трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB=12, CD=24, высота=8. Боковые стороны равны \( \text{l} = \text{sqrt}(8^2 + 6^2) = 10 \).

1. Вращение вокруг AB (меньшее основание):

Получаем цилиндр (высота 12, радиус 8) и два конуса (радиус 8, высота 6).

\( V_1 = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 + 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = 768\pi + 256\pi = 1024\pi \) см³.

2. Вращение вокруг CD (большее основание):

Получаем два конуса (радиус 8, высота 6) и цилиндр (высота 12, радиус 8).

Объем тела вращения вокруг большего основания будет состоять из:

а) Цилиндра с высотой, равной меньшему основанию (12 см), и радиусом, равным высоте трапеции (8 см). \( V_{ц} = \pi r^2 h = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 768\pi \) см³.

б) Двух конусов, у которых радиус основания равен высоте трапеции (8 см), а высота каждого конуса равна \( \frac{24-12}{2} = 6 \) см. Общий объем этих конусов \( V_{к} = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 h = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = 256\pi \) см³.

Общий объем второго тела вращения: \( V_2 = V_{ц} + V_{к} = 768\pi + 256\pi = 1024\pi \) см³.

Сравнение объемов:

\( V_1 = 1024\pi \) см³.

\( V_2 = 1024\pi \) см³.

Объемы тел вращения равны.

Ответ: Объемы тел вращения равны.