15. (1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по законуS(t) = \(\frac{1}{6}\)t^2 + 5t + 28, где Ѕ— расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Решение:

Скорость \( v(t) \) материальной точки является производной от расстояния \( S(t) \) по времени \( t \).

Найдем производную функции \( S(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{6}t^2 + 5t + 28\right) \]\[ v(t) = \frac{1}{6} · 2t + 5 = \frac{1}{3}t + 5 \]

По условию задачи, скорость равна \( 6 \) м/с. Приравняем найденную производную к \( 6 \):

\[ \frac{1}{3}t + 5 = 6 \]

Решим уравнение относительно \( t \):

\[ \frac{1}{3}t = 6 - 5 \]

\( \frac{1}{3}t = 1 \)

\( t = 3 · 1 = 3 \)

Ответ: 3 секунды.