15. (1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) = \(\frac{1}{2}\)t² + 6t + 19, где S — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 14 м/с?

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это производная от расстояния \( S(t) \) по времени \( t \).

Найдем производную функции \( S(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}t^2 + 6t + 19\right) \]

\[ v(t) = \frac{1}{2} \cdot 2t + 6 = t + 6 \]

Нам нужно найти время \( t \), когда скорость \( v(t) = 14 \) м/с.

Приравняем производную к 14:

\[ t + 6 = 14 \]

Решим уравнение:

\[ t = 14 - 6 \]

\[ t = 8 \]

Ответ: 8 секунд