14. В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник АВС со стороной 2√3, SA = SC = √33, SB = 7. Точка О — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S. а) Докажите, что точка О лежит вне треугольника АВС. б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

Решение:

а) Доказательство того, что точка О лежит вне треугольника АВС.

Так как \( SA = SC \), то проекция вершины \( S \) на плоскость основания равноудалена от вершин \( A \) и \( C \). Следовательно, точка \( O \) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \( AC \). Поскольку \( \triangle ABC \) — правильный, серединный перпендикуляр к \( AC \) является также медианой и высотой, проведёнными из вершины \( B \).

Для того чтобы определить положение точки \( O \) относительно \( \triangle ABC \), сравним длины сторон \( SA \), \( SB \) и \( SC \) с высотой \( h = SO \) и расстояниями от \( O \) до вершин.

Вычислим квадрат длины стороны \( AC = 2\sqrt{3} \): \( AC^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12 \).

В \( \triangle SAC \) по теореме косинусов найдём \( \cos \angle SAC \): \( SC^2 = SA^2 + AC^2 - 2 \cdot SA \cdot AC \cdot \cos \angle SAC \).

\( 33 = 33 + 12 - 2 \cdot \sqrt{33} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos \angle SAC \).

\( 0 = 12 - 4\sqrt{99} \cdot \cos \angle SAC \).

\( \cos \angle SAC = \frac{12}{4\sqrt{99}} = \frac{3}{\sqrt{99}} = \frac{3}{3\sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{11}} \).

Теперь найдём \( AO \). В прямоугольном \( \triangle SAO \) имеем: \( AO^2 = SA^2 - SO^2 \). Нам нужно найти \( SO \).

Рассмотрим \( \triangle SAB \) и \( \triangle SBC \).

В \( \triangle ABC \) сторона \( a = 2\sqrt{3} \). Медиана \( BM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 \).

Поскольку \( O \) лежит на серединном перпендикуляре к \( AC \) (который является \( BM \) в равностороннем \( \triangle ABC \) ), \( O \) лежит на прямой \( BM \).

Для определения положения \( O \) относительно \( \triangle ABC \) найдём \( AO \) и \( CO \). Так как \( SA = SC \), \( O \) равноудалён от \( A \) и \( C \).

Пусть \( R \) — радиус описанной окружности \( \triangle ABC \). \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \).

Центр описанной окружности \( \triangle ABC \) — это точка пересечения серединных перпендикуляров. Так как \( \triangle ABC \) правильный, центр описанной окружности совпадает с центром правильного треугольника, который лежит внутри треугольника. Точка \( O \) лежит на серединном перпендикуляре к \( AC \).

Если \( O \) совпадает с центром \( \triangle ABC \), то \( OA = OB = OC = R = 2 \). Однако, \( SA = SC = \sqrt{33} \) и \( SB = 7 \).

В прямоугольном \( \triangle SAO \): \( SO^2 = SA^2 - AO^2 \).

В прямоугольном \( \triangle SBO \): \( SO^2 = SB^2 - BO^2 \).

\( SA^2 - AO^2 = SB^2 - BO^2 \).

\( 33 - AO^2 = 7^2 - BO^2 = 49 - BO^2 \).

\( BO^2 - AO^2 = 49 - 33 = 16 \).

Точка \( O \) лежит на прямой \( BM \). Обозначим \( BO = x \). Тогда \( MO = |BM - BO| = |3 - x| \). \( AO = CO \).

В \( \triangle AOC \) (это равнобедренный \( \triangle AOC \) ) \( AO^2 + CO^2 = AC^2 \) неверно. \( O \) лежит на серединном перпендикуляре к \( AC \).

Рассмотрим \( \triangle BCO \) и \( \triangle BAO \). \( AO = CO \).

Пусть \( O \) лежит на \( BM \). \( BM = 3 \).

Если \( O \) лежит между \( B \) и \( M \), то \( BO + OM = BM = 3 \). \( AO^2 = OM^2 + AM^2 \).

Если \( M \) лежит между \( B \) и \( O \), то \( BO = BM + MO = 3 + MO \).

Если \( O \) лежит между \( B \) и \( M \), то \( BO + MO = 3 \).

\( BO^2 - AO^2 = 16 \). \( AO^2 = SA^2 - SO^2 \), \( BO^2 = SB^2 - SO^2 \).

\( AO^2 = 33 - SO^2 \), \( BO^2 = 49 - SO^2 \).

\( (49 - SO^2) - (33 - SO^2) = 16 \), что верно. Это не помогает определить положение \( O \).

Рассмотрим \( \triangle BOM \) и \( \triangle AOM \).

\( AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \).

\( AO^2 = AM^2 + OM^2 = 3 + OM^2 \).

\( BO^2 = BM^2 + MO^2 - 2 \cdot BM \cdot MO \cdot \cos \angle BMO \) (неверно).

\( BO^2 = SB^2 - SO^2 \). \( AO^2 = SA^2 - SO^2 \).

\( AO^2 - BO^2 = SA^2 - SB^2 = 33 - 49 = -16 \).

\( BO^2 - AO^2 = 16 \).

Пусть \( O \) лежит на прямой \( BM \). \( O \) — проекция \( S \) на плоскость \( ABC \).

Пусть \( AO = x \). \( CO = x \) (т.к. \( SA = SC \)).

В \( \triangle AOC \), \( AO = CO \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( AB=BC=AC=2\sqrt{3} \). \( BM \) — медиана и высота. \( BM = 3 \).

Пусть \( O \) лежит на \( BM \). Обозначим \( BO = y \). Тогда \( MO = |3-y| \). \( AO^2 = AM^2 + MO^2 = (\sqrt{3})^2 + (3-y)^2 = 3 + (3-y)^2 \).

\( BO^2 - AO^2 = y^2 - (3 + (3-y)^2) = y^2 - (3 + 9 - 6y + y^2) = y^2 - 12 + 6y - y^2 = 6y - 12 \).

Мы знаем, что \( BO^2 - AO^2 = 16 \).

\( 6y - 12 = 16 \).

\( 6y = 28 \).

\( y = BO = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \).

Так как \( BM = 3 = \frac{9}{3} \), а \( BO = \frac{14}{3} \), то \( BO > BM \). Это означает, что точка \( M \) лежит между \( B \) и \( O \). Значит, \( O \) лежит вне треугольника \( ABC \) на продолжении медианы \( BM \) за вершину \( B \).

Доказано.

б) Нахождение объёма четырёхугольной пирамиды SABCO.

Объём пирамиды \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{base} \cdot h \).

Основанием пирамиды SABCO является четырёхугольник SABO. Однако, в задании сказано «четырёхугольной пирамиды SABCO». Это подразумевает, что основанием является четырёхугольник ABCO, а вершина — S. Но точка O — основание высоты, значит, S-ABCO — это пирамида с вершиной S и основанием ABCO.

По условию, \( O \) — основание высоты пирамиды \( SABC \), проведённой из вершины \( S \). Значит, \( SO \) — высота всей пирамиды \( SABC \).

Площадь основания \( \triangle ABC \): \( S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12 \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \).

Найдем высоту \( SO \). Из \( BO = \frac{14}{3} \) и \( SB = 7 \), в прямоугольном \( \triangle SBO \):

\( SO^2 = SB^2 - BO^2 = 7^2 - \left(\frac{14}{3}\right)^2 = 49 - \frac{196}{9} = \frac{49 × 9 - 196}{9} = \frac{441 - 196}{9} = \frac{245}{9} \).

\( SO = \sqrt{\frac{245}{9}} = \frac{\sqrt{49 × 5}}{3} = \frac{7\sqrt{5}}{3} \).

Объём пирамиды \( SABC \): \( V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{7\sqrt{5}}{3} = \frac{7\sqrt{15}}{3} \).

Если под «четырёхугольной пирамидой SABCO» подразумевается пирамида с вершиной S и основанием ABCO, то нам нужно найти площадь четырёхугольника ABCO. Точка O лежит на продолжении медианы BM за точку B. Точка M — середина AC.

\( AM = \sqrt{3} \), \( BM = 3 \), \( BO = \frac{14}{3} \).

Площадь \( \triangle ABM = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \).

Площадь \( \triangle ABCO \) = Площадь \( \triangle ABC \) + Площадь \( \triangle ACO \) (если O внутри ABC, что не так) или Площадь \( \triangle ABC \) - Площадь \( \triangle ACO \) (если O снаружи).

Рассмотрим площадь четырёхугольника ABCO. Можно разбить его на \( \triangle ABO \) и \( \triangle CBO \). Или \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACO \).

Точка O лежит вне \( \triangle ABC \) на продолжении \( BM \) за \( B \).

Площадь \( \triangle ABC = 3\sqrt{3} \).

Для площади \( \triangle ACO \): основание \( AC = 2\sqrt{3} \). Высота — перпендикуляр из \( O \) на \( AC \), это \( OM \). \( OM = BO - BM = \frac{14}{3} - 3 = \frac{14-9}{3} = \frac{5}{3} \).

\( S_{ACO} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot OM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \).

Площадь четырёхугольника ABCO = Площадь \( \triangle ABC \) + Площадь \( \triangle ACO \) (это неверно, так как O вне)

Площадь ABCO = Площадь \( \triangle ABO \) + Площадь \( \triangle CBO \). \( AO = CO \) => \( \triangle ABO \) и \( \triangle CBO \) равны. \( AO^2 = 3 + OM^2 = 3 + (5/3)^2 = 3 + 25/9 = (27+25)/9 = 52/9 \). \( AO = \sqrt{52}/3 = 2\sqrt{13}/3 \).

\( BO = 14/3 \).

В \( \triangle ABO \) по формуле Герона или через высоту. Высота из \( A \) на \( BO \) — \( AM = \sqrt{3} \).

Площадь \( \triangle ABO = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_A \), где \( h_A \) — высота из \( A \) на прямую \( BO \). Это \( AM = \sqrt{3} \) только если \( BM \) перпендикулярна \( AM \), что верно.

\( S_{ABO} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{14}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \).

\( S_{CBO} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \).

Площадь четырёхугольника \( ABCO = S_{ABO} + S_{CBO} = \frac{7\sqrt{3}}{3} + \frac{7\sqrt{3}}{3} = \frac{14\sqrt{3}}{3} \).

Объём пирамиды \( S \)-ABCO: \( V_{S-ABCO} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCO} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{14\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{7\sqrt{5}}{3} = \frac{98\sqrt{15}}{27} \).

Ответ: а) Доказано. б) \( \frac{98\sqrt{15}}{27} \).