13. а) Решите уравнение sinx+(cos(x/2) - sin(x/2))*(cos(x/2) + sin(x/2)) = 0.

Решение:

Уравнение: \( \sin x + \left( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right) \left( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \right) = 0 \)

1. Используем формулу разности квадратов: \( \left( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right) \left( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \right) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \).
2. По формуле косинуса двойного угла: \( \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x \).
3. Исходное уравнение принимает вид: \( \sin x + \cos x = 0 \).
4. Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \) ): \( \frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0 \)
5. Получаем: \( \operatorname{tg} x + 1 = 0 \)
6. \( \operatorname{tg} x = -1 \)
7. Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
8. Проверим условие \( \cos x \neq 0 \). Если \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), то \( \cos x \neq 0 \), значит, решение верно.

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).