13. В треугольнике АВС CD — медиана, угол С равен 90°, угол В равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°), угол B = 35°. Следовательно, угол A = 90° - 35° = 55°.

CD — медиана, значит, D — середина гипотенузы AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, AD = BD = CD.

Рассмотрим треугольник ACD. Так как AD = CD, он равнобедренный. Угол CAD = угол A = 55°.

Угол ACD — угол при основании равнобедренного треугольника ACD. Следовательно, угол ACD = угол CAD = 55°.

Проверка: В равнобедренном треугольнике ACD, угол ADC = 180° - 55° - 55° = 70°. Угол BDC — смежный с углом ADC, поэтому угол BDC = 180° - 70° = 110°. В треугольнике BCD: угол B = 35°, угол BDC = 110°, значит, угол BCD = 180° - 35° - 110° = 35°. Угол ACD + угол BCD = 55° + 35° = 90°, что соответствует углу C.

Ответ: 55.