21. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Обозначим меньший острый угол прямоугольного треугольника как \( \alpha \). Тогда больший острый угол равен \( 90^{\circ} - \alpha \).
2. Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит его на два угла. Один из этих углов равен \( 90^{\circ} - \alpha \) (смежный с большим острым углом), а другой равен \( \alpha \) (смежный с меньшим острым углом).
3. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по \( 45^{\circ} \).
4. Угол между высотой и биссектрисой равен разности между половиной прямого угла и меньшим острым углом: \( |45^{\circ} - \alpha| = 14^{\circ} \).
5. Возможны два случая:
• \( 45^{\circ} - \alpha = 14^{\circ} \)
• \( \alpha = 45^{\circ} - 14^{\circ} = 31^{\circ} \)
• \( 45^{\circ} - \alpha = -14^{\circ} \)
• \( \alpha = 45^{\circ} + 14^{\circ} = 59^{\circ} \)
6. Так как \( \alpha \) — меньший острый угол, то \( \alpha \) должно быть меньше \( 45^{\circ} \).
7. Следовательно, \( \alpha = 31^{\circ} \).
8. Проверим: если \( \alpha = 31^{\circ} \), то больший угол \( 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ} \). Угол между высотой и биссектрисой равен \( |45^{\circ} - 31^{\circ}| = 14^{\circ} \). Это соответствует условию.
9. Если бы \( \alpha = 59^{\circ} \), то это был бы больший угол.

Ответ: 31 градус.