13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону ВС на отрезки ВК и СК. Найдите длину стороны DC, если ВК = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см.

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Биссектриса угла D делит BC на ВК = 6 см и СК.
• Периметр P = 48 см.

Решение:

1. Свойства прямоугольника: AB = DC, AD = BC. Углы прямоугольника прямые (90°).

2. Свойства биссектрисы: Биссектриса угла делит его пополам. Угол D = 90°, значит, угол ADK = 45° (где K - точка на BC).

3. Рассмотрим треугольник ABK: Угол A = 90°, угол ABK = 90°. Если бы K была на стороне CD, то ABK был бы прямоугольным. Но K на BC. Рассмотрим треугольник ADK. Угол D = 90°. Биссектриса DK. Угол ADK = 45°.

Важное свойство: В прямоугольнике ABCD, биссектриса угла D (DK) пересекает сторону BC. Рассмотрим треугольник ADK. Угол D = 90. Биссектриса DK. Угол ADK = 45. Угол KDC = 45. Рассмотрим треугольник CDK. Угол C = 90, угол KDC = 45. Следовательно, угол CKD = 180 - 90 - 45 = 45. Значит, треугольник CDK - равнобедренный прямоугольный. CK = DC.

4. Используем периметр:

• P = 2 * (AD + DC)
• 48 = 2 * (AD + DC)
• 24 = AD + DC

Мы знаем, что BC = AD. Также, BC = BK + CK. И мы нашли, что DC = CK.

Подставим это в уравнение периметра:

• 24 = AD + CK

У нас есть:

• AD = BC = BK + CK = 6 + CK

Подставляем AD в уравнение периметра:

• 24 = (6 + CK) + CK
• 24 = 6 + 2 * CK
• 18 = 2 * CK
• CK = 9 см

Поскольку DC = CK, то DC = 9 см.

Ответ: 9 см