13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону BC на отрезки ВК и СК. Найдите длину стороны DC, если ВК = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см.

1. Разбор задачи:

Биссектриса угла прямоугольника делит противоположную сторону. Нужно использовать свойства прямоугольника, биссектрисы и периметра.

Решение:

1. В прямоугольнике ABCD, ∠D = 90°.
2. Биссектриса угла D делит его пополам, то есть ∠ADK = ∠CDK = 90° / 2 = 45°.
3. ДК — биссектриса.
4. Рассмотрим треугольник CDK. Угол ∠DCK = 90°. Угол ∠CDK = 45°.
5. Сумма углов в треугольнике 180°, значит, ∠CKD = 180° - 90° - 45° = 45°.
6. Так как ∠CDK = ∠CKD = 45°, то треугольник CDK — равнобедренный.
7. Следовательно, CD = CK.
8. По условию, биссектриса делит сторону BC на отрезки BK и CK.
9. Значит, BC = BK + CK.
10. Также, в прямоугольнике противоположные стороны равны: AD = BC и AB = DC.
11. Из равнобедренного треугольника CDK, мы знаем, что CK = CD.
12. Так как AB = DC, то CK = AB.
13. BC = BK + CK = BK + AB.
14. Периметр прямоугольника P = 2 * (AB + BC).
15. 48 = 2 * (AB + BC).
16. 24 = AB + BC.
17. Подставим BC = BK + AB:
18. 24 = AB + (BK + AB).
19. 24 = 2 * AB + BK.
20. По условию, BK = 6 см.
21. 24 = 2 * AB + 6.
22. 2 * AB = 24 - 6 = 18.
23. AB = 18 / 2 = 9 см.
24. Так как AB = DC, то DC = 9 см.

Ответ: 9