13. Решите уравнение 4х² + 12х + 9 = (х – 4)².

Решение:

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения.

1. Левая часть уравнения: 4х² + 12х + 9. Заметим, что это полный квадрат: \[ (2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 × 2x × 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9 \]
2. Правая часть уравнения: (х – 4)². Раскроем скобки по формуле квадрата разности: \[ (x - 4)^2 = x^2 - 2 × x × 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \]
3. Приравняем обе части: \[ (2x + 3)^2 = (x - 4)^2 \] \[ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 - 8x + 16 \]
4. Перенесем все члены в левую часть: \[ 4x^2 - x^2 + 12x + 8x + 9 - 16 = 0 \] \[ 3x^2 + 20x - 7 = 0 \]
5. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: D = b² - 4ac. Здесь a = 3, b = 20, c = -7.
\[ D = 20^2 - 4 × 3 × (-7) = 400 + 84 = 484 \]
6. Найдем корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \]
7. Найдем корни уравнения по формуле: x = (-b ± √D) / 2a
\[ x_1 = \frac{-20 + 22}{2 × 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-20 - 22}{2 × 3} = \frac{-42}{6} = -7 \]

Ответ: 1/3; -7