17. Найдите значение выражения $$ \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} $$

Упрощение выражения

Для нахождения значения выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю и выполнить арифметические действия.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим общий знаменатель. Общий знаменатель для \( \sqrt{7}+\sqrt{3} \) и \( \sqrt{7}-\sqrt{3} \) равен \( (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \). Это разность квадратов: \( (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \).
2. Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю.
   • Первая дробь: \( \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{2\cdot 7 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{14 - 2\sqrt{21}}{4} \)
   • Вторая дробь: \( \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{21} + 2\cdot 3}{4} = \frac{2\sqrt{21} + 6}{4} \)
3. Шаг 3: Складываем полученные дроби. \( \frac{14 - 2\sqrt{21}}{4} + \frac{6 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{14 - 2\sqrt{21} + 6 + 2\sqrt{21}}{4} \)
4. Шаг 4: Упрощаем числитель. \( \frac{14 + 6}{4} = \frac{20}{4} = 5 \)

Ответ: 5