13. Решите неравенство 0,7^{x^2+4x} \(\ge\) 0,7^{5x+10}

Решение:

1. Так как основание степени \( 0,7 \) меньше 1, при решении неравенства знаки неравенства меняются на противоположные:
2. \( x^2 + 4x \le 5x + 10 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону:
4. \( x^2 + 4x - 5x - 10 \le 0 \)
5. \( x^2 - x - 10 \le 0 \)
6. Найдём корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 10 = 0 \):
7. \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41 \)
8. \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2} \)
9. \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2} \approx -2.70 \)
10. \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} \approx 3.70 \)
11. Парабола \( y = x^2 - x - 10 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - x - 10 \le 0 \) выполняется при \( x \in [\frac{1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{1 + \sqrt{41}}{2}] \).

Ответ: \( x \in [\frac{1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{1 + \sqrt{41}}{2}] \).