13. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры окружности с центром O.

Угол \( ∠ ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( 2 × ∠ ACB \).

\[ ∠ AOB = 2 × ∠ ACB \]

\[ ∠ AOB = 2 × 53^\circ = 106^\circ \]

Углы \( ∠ AOB \) и \( ∠ COD \) — вертикальные, поэтому \( ∠ COD = ∠ AOB = 106^\circ \).

Углы \( ∠ AOD \) и \( ∠ BOC \) — вертикальные.

Сумма углов вокруг центра O равна 360°:

\[ ∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD + ∠ DOA = 360^\circ \]

\[ 106^\circ + ∠ BOC + 106^\circ + ∠ AOD = 360^\circ \]

Так как \( ∠ AOD = ∠ BOC \), обозначим их как \( x \).

\[ 106^\circ + x + 106^\circ + x = 360^\circ \]

\[ 2x + 212^\circ = 360^\circ \]

\[ 2x = 360^\circ - 212^\circ \]

\[ 2x = 148^\circ \]

\[ x = 74^\circ \]

Следовательно, \( ∠ AOD = 74^\circ \).

Ответ: 74°.