126. Гвозди, масса которых m кг, разложили в три ящика. В первый ящик положили 0,6 всех гвоздей, а во второй \(\frac{2}{15}\) всех гвоздей. Сколько килограммов гвоздей положили в третий ящик? Найдите значение получившегося выражения при \(m = 45\); \(m = 18 \frac{3}{4}\)

Решение:

1. Найдем, какую часть гвоздей положили в первый и второй ящики вместе.

Сначала преобразуем 0,6 в дробь:

\[ 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Теперь сложим доли гвоздей в первом и втором ящиках:

\[ \frac{3}{5} + \frac{2}{15} \]

Приведем к общему знаменателю 15:

\[ = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9+2}{15} = \frac{11}{15} \]

Значит, \(\frac{11}{15}\) всех гвоздей находятся в первых двух ящиках.

2. Найдем, какую часть гвоздей положили в третий ящик.

Вся масса гвоздей — это 1 (или \(\frac{15}{15}\)). Вычтем долю гвоздей в первых двух ящиках из единицы:

\[ 1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{15-11}{15} = \frac{4}{15} \]

Таким образом, \(\frac{4}{15}\) всех гвоздей находятся в третьем ящике. Это и есть искомое выражение для массы гвоздей в третьем ящике.

3. Найдем массу гвоздей в третьем ящике при заданных значениях \(m\).

Масса гвоздей в третьем ящике равна \(\frac{4}{15} m\).

а) При \(m = 45\) кг:

\[ \frac{4}{15} \times 45 = \frac{4 \times 45}{15} = 4 \times 3 = 12 \text{ кг} \]

б) При \(m = 18 \frac{3}{4}\) кг:

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

\[ 18 \frac{3}{4} = \frac{18 \times 4 + 3}{4} = \frac{72 + 3}{4} = \frac{75}{4} \]

Теперь подставим в выражение:

\[ \frac{4}{15} \times \frac{75}{4} = \frac{4 \times 75}{15 \times 4} \]

Сократим 4 в числителе и знаменателе, и 75 и 15 (75 делится на 15, получаем 5):

\[ = \frac{75}{15} = 5 \text{ кг} \]

Ответ: В третьем ящике находится \(\frac{4}{15}\) всех гвоздей. При \(m = 45\) кг — 12 кг; при \(m = 18 \frac{3}{4}\) кг — 5 кг.