№ 125. Решите уравнение: 1) x² - 64 = 0; 2) 4x² - 25 = 0; 3) 9x² + 16 = 0; 4) (2x-3)² - 36 = 0.

Задание № 125. Решение уравнений

Будем решать уравнения, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) или выделяя полный квадрат.

1) \( x^2 - 64 = 0 \)

• Это разность квадратов: \( x^2 - 8^2 = 0 \).
• Применяем формулу: \( (x - 8)(x + 8) = 0 \).
• Корни уравнения: \( x - 8 = 0 \) или \( x + 8 = 0 \).
• Следовательно, \( x = 8 \) или \( x = -8 \).

2) \( 4x^2 - 25 = 0 \)

• Это разность квадратов: \( (2x)^2 - 5^2 = 0 \).
• Применяем формулу: \( (2x - 5)(2x + 5) = 0 \).
• Корни уравнения: \( 2x - 5 = 0 \) или \( 2x + 5 = 0 \).
• Следовательно, \( 2x = 5 \) ( \( x = 5/2 = 2,5 \) ) или \( 2x = -5 \) ( \( x = -5/2 = -2,5 \) ).

3) \( 9x^2 + 16 = 0 \)

• Перепишем как \( (3x)^2 + 16 = 0 \).
• \( (3x)^2 = -16 \).
• Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
• Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

4) \( (2x - 3)^2 - 36 = 0 \)

• Это разность квадратов: \( (2x - 3)^2 - 6^2 = 0 \).
• Применяем формулу: \( ((2x - 3) - 6)((2x - 3) + 6) = 0 \).
• Упрощаем: \( (2x - 9)(2x + 3) = 0 \).
• Корни уравнения: \( 2x - 9 = 0 \) или \( 2x + 3 = 0 \).
• Следовательно, \( 2x = 9 \) ( \( x = 9/2 = 4,5 \) ) или \( 2x = -3 \) ( \( x = -3/2 = -1,5 \) ).

Ответ:

• 1) \( x = 8 \) или \( x = -8 \)
• 2) \( x = 2,5 \) или \( x = -2,5 \)
• 3) Нет действительных корней
• 4) \( x = 4,5 \) или \( x = -1,5 \)